ДІОФАНТ ОЛЕКСАНДРІЙСЬКИЙ (ІІ-ІІІ ст. н.е.) Діофант був останнім великим математиком античності. Його творчість вплинула на розвиток алгебри, невизначеного аналізу і теорії чисел, порівнянний із впливом Архімеда на дослідження з математичного аналізу і механіки. Про життя Діофанта ми знаємо дуже мало. У Палатінській антології збереглася його епітафія: "Прах Діофанта гробниця містить: дивуйся їй - і камінь Мудрим мистецтвом його скаже покійне століття. Волею богів шосту частину життя він прожив дитиною. І половину шостої зустрів з пушком па щоках. Тільки минула сьома, з подругою він обручився. З нею п'ять років провівши, сина дочекався мудрець. Тільки півжиття батьківської улюблений син його прожив, Віднятий він був у батька ранньою могилою своєї. Двічі два роки батько оплакував тяжке горе. Отут і побачив межу життя свого сумного". (Переклад С. Н. Боброва) Легко підрахувати, що Діофант прожив 84 роки, але коли точно - невідомо. Час (II - III ст. н. е.) його життя визначено з непрямих розумінь. В II-III ст. н.е. Єгипет був уже не самостійною державою, а провінцією Римської імперії. Центр науки як і раніше знаходився в Олександрії, але математична школа вже мало походила на класичну, створену Евклідом і його послідовниками (III-II ст. до н.е.) Основою математики служила тепер не геометрія, а арифметика, розвивалися обчислювальні алгоритми, плоска і сферична тригонометрія і, нарешті, нова алгебра. В часи Евкліда алгебра будувалася геометрично: величини зображувалися відрізками, які можна було складати і віднімати (з більшого менший). Добуток двох відрізків представлялося побудованим на них прямокутником, а добуток трьох відрізків - відповідним прямокутним паралелепіпедом. Добуток чотирьох відрізків не розглядалося. Геометричне уявлення дало можливість довести загальним образом алгебраїчні тотожності (адже буквеної алгебри не бути!) і вирішувати квадратні рівняння. Наприклад, тотожність Евклід доводив по мал. 1. Геометрична алгебра була, однак, малооперативною і До нас дійшли 2 його твору - "Арифметика" і "Про багатокутні числа". Обоє не цілком: з 13 книг "Арифметики" збереглися 6, від другого твору залишилися тільки уривки. У "Арифметиці" Діофант увів літерні позначення для невідомого, шести його позитивних ступенів, шести негативних і нульовий ступені (див. мал. 2). Він визначив і дії з цими ступенями, що ми можемо коротко записати так: Поява ступенів, великих третьої, а також негативних, означало остаточний розрив з геометричними уявленням і зародження буквеної алгебри. Діофант першим став позначати мінус перед числом особливим знаком, увів скорочене позначення рівності. Усе це дозволило йому записати умову задачі у виді рівняння. До цього ніяких рівнянь не було. Були тільки задачі, еквівалентні рівнянню. Не більш того. Нарешті, Діофант зрозумів, що не можна розвивати алгебру, маючи тільки позитивні числа. Він першим увів негативні числа, назвавши їхнім словом "лейпсіс" (недолік). Але що значить "увести нові числа"? Діофант придумав для цього спеціальний метод, що ми б назвали аксіоматичним: визначив правила дій з новими числами Якщо позначити негативні числа знаком (-), а позитивні-(+1. те "таблицю множення" Діофанта можна записати так: (-)(-) = (+), (-)( + ) = (-)o Діофант не визначив правила додавання і вирахування негативних чисел, але вільно ними користувався. Помітимо, що Р.Бомбеллі (XVI ст.), ознайомивши з рукописами Діофанта, точно таким же методом увів уявні числа. Побудувавши поле раціональних чисел, Діофант розвивав над ним алгебру й теорію невизначених рівнянь. Випливаючи античної традиції, він викладав свої ідеї на конкретних прикладах. Основний зміст його "Арифметики" - рішення невизначених рівнянь як систем таких рівнянь у раціональних числах, а методи його тепер відносяться до алгебраїчної геометрії. Так, розглядаючи невизначене рівняння 2-й ступеня від двох перемінних їх я у, Діофант установив, що воно або зовсім не має раціональних рішень, або якщо є одне рішення, тобто і нескінченно багато інших, причому їх ми у виражаються як раціональні функції одного параметра. Одна я таких задач, у якій потрібно розкласти заданий квадрат на два квадрати, спонукала Ферма сформулювати свою Велику теорему. Діофант розглянув також невизначені рівняння 3-й ступеня від двох перемінних (визначальні криві роду 1) і розвив для них загальні методи (метод дотичної і метод січної), що дозволили по одному чи двом відомим раціональним рішенням знайти нове раціональне рішення. Ці методи використовував А. Пуанкаре для побудови арифметики кривих роду 1. годила власне, кажучи тільки для дій з вираженнями 2-й ступеня. На початку нашої ери математики поступово поверталися до числової алгебри, але рішучий крок зробив Діофант.